Von Stellwerken und anderen Maschinen ...: Spitzbögen und die Orgel der Kathedrale Coutances, 2023

Mein Blog heißt "... und anderen Maschinen". Bei Maschinen bewegt sich etwas – allerdings finde ich auch manche statischen Konstruktionen interessant: Alle Arten von Brücken, und ... gotische Kirchen. In Coutances waren wir in der Kathedrale: Für mich (Laien) Gotik par excellence:

Türme, Kathedrale, Coutances, 18.9.2023

Place du Parvis-Notre-Dame mit Kathedrale, Coutances, 18.9.2023

Tatsächlich ist ein Großteil des Baues wohl romanisch, was man im Bereich der Türme auch an diversen Rundbögen erkennen kann:

Seitentor und Südturm, Kathedrale, Coutances, 18.9.2023

... aber schon bei Seitentor beginnen die Spitzbögen:

Seitentor, Kathedrale, Coutances, 18.9.2023

Innen sind sie dann überall zu sehen:

Seitenschiff, Kathedrale, Coutances, 18.9.2023

Hauptschiff mit Vierung, Kathedrale, Coutances, 18.9.2023

Hauptschiff mit Orgel, Kathedrale, Coutances, 18.9.2023

Innen- und Außenfenster, Kathedrale, Coutances, 18.9.2023

Nur – woher kommen sie, die Spitzbögen? Dass es dafür nur eine Erklärung gibt, ist unwahrscheinlich. Andererseits, die Aussage "das hat halt verschiedenen Leuten gefallen" ist auch unbefriedigend. Und natürlich muss man, um eine Antwort zu finden, historische Beispiele aus vielen Kulturen und Zeiten studieren – was sicher schon ganze Horden von Kunsthistorikern und Architekten unternommen haben. Einer davon war Rudolph Wiegmann, der 1842 ein Buch "Ueber den Ursprung des Spitzbogenstils" veröffentlicht hat. Nach der Kritik an Hypothesen anderer Autoren zum Aufkommen der Spitzbogen in der Gotik beschreibt er viele historische Beispiele, kommt dann aber um S.35 zu geometrischen und arbeitstechnischen Überlegungen. Und (nur) diese Aspekte will ich hier mit ein paar Skizzen etwas mehr im Detail beschreiben; wobei sich am Ende doch eine unerwartete Schlussfolgerung ergibt, die man an realen Gewölben überprüfen könnte.

Hier sind zwei Aufnahmen eines Spitzbogengewölbes (die erste haben wir schon oben gesehen):

Seitentor, Kathedrale, Coutances, 18.9.2023

Blick ins Seitenschiff, Kathedrale, Coutances, 18.9.2023

Man sieht, dass ein Gewölbefeld oder "Gewölbejoch" tatsächlich von zwei (halb)kreisförmigen Rundbogen (den "Rippen") überwölbt wird, die sich am Scheitel schneiden:

Der Zwischenbogen zwischen jeweils zwei Jochen, der "Gurt" (den ich in der Skizze nicht eingezeichnet habe), ist allerdings offensichtlich jeweils ein Spitzbogen! Wieso ist das so?

Wenn man längs in ein solches Gewölbe hineinschaut, könnte man meinen, dass der Spitzbogen die Projektion der (aus dieser Sicht schräg zur Sichtlinie stehenden) Rundbogen ist:

Blick ins Seitenschiff, Kathedrale, Coutances, 18.9.2023

Das kann aber nicht stimmen, denn die Projektion eines schrägstehenden Kreises ist eine Ellipse: Der halbkreisförmige Bogen

wird in der Schrägansicht zu einer halben Ellipse:

Wie kommt man trotzdem zum Spitzbogen? Nehmen wir einmal an, die Steinmetze stellen Segmentsteine für die Rundbogen her – alle mit gleicher Krümmung, weil die Rippenbögen ja Halbkreise sind. Nun mauern die Gewölbebauer auch den Gurtbogen mit den gleichen Steinen auf. Hier ist ein Bild, das das demonstrieren soll:

Über dem vorderen Gewölbefeld ist hier nur mehr ein Rippenbogen gezeichnet, den ich mit A bezeichnet habe. Auch über dem hinteren Feld steht ein Rippenbogen, C, der vom selben Kämpfer (Fußpunkt) ausgeht. Nun stellt man sich vor, dass der Bogen A zum Bogen C hinübergedreht wird (durch den Pfeil von A nach B angedeutet). Am halbem Wege, bei B, wird er zum Gurtbogen – der allerdings unten, am Fußpunkt, über den zugehörigen Kämpfer weit übersteht! Und ebenso befindet sich in dieser Stellung der Bogenscheitel S_B nicht auf der geraden Verbindungslinie der Rippenbögen-Scheitel S_A und S_C bei M, sondern ein gutes Stück versetzt. Wenn man nun aber den Gurt genau unter M enden lässt, damit man symmetrisch von der Gegenseite her auch ein Stück eines Bogens aufmauern kann, dann erhält man einen Spitzbogen! – sozusagen "ohne dass man es wollte".

In der Ansicht entlang der Firstlinie sieht das so aus:

A und C sind hier die Halbellipsen, die man von den schrägstehenden Rippenbögen sieht; während B die linke Hälfte des Gurtbogens ist. Was man aber auch sieht: Der Gurtbogen kommt gar nicht bis zum höchsten Punkt S_B seines Halbkreises! – er endet ein Stück vorher, und damit auch ein Stück tiefer als die Scheitel der Rippenbögen. Die Firstlinie des Gewölbes, von Rippenbogenscheitel zu Gurtbogenscheitel weiter zu Rippenbogenscheitel usw., müsste also in einer Wellenlinie verlaufen. Es ist zumindest aus meinen Bildern gar nicht klar, ob das nicht tatsächlich so ist – aber es gibt noch eine nette Korrekturmöglichkeit: Die Steinmetze stellen nicht nur Segmentsteine mit immer gleicher Krümmung her, sondern auch noch gerade Rippensteine. Und nun zieht man den Gurtbogen "rechtzeitig" mit den geraden Steinen bis zur Höhe der Rundbogenscheitel hoch:

Die Konsequenz dieser Konstruktion wäre, dass ein Spitzbogen als Gurtbogen im höchsten Teil gar kein Bogen ist, sondern ein Dreieck! Ob das wirklich so ist, kann ich an den Bildern nicht erkennen.

Wie lang wird dieser gerade Abschnitt? An der Skizze sieht man, dass die Länge gleich dem Bogenradius abzüglich der halben Jochbreite ist: Das folgt einfach daraus, dass sowohl die Verbindung von S_B zur (Projektion von) S_A wie auch der "begradigte Gurtbogenteil" Tangentenstücke an einen Kreis vom selben Punkt aus sind – und diese zwei Tangentenstücke sind gleich lang. Für ein quadratisches Gewölbefeld, wo also der Rundbogenradius r ungefähr gleich dem 1,4-fachen (Länge der Diagonale im Quadrat) der halben Gewölbebreite a ist, beträgt diese Länge also immerhin das 0,2-fache (Hälfte von 0,4) oder ein Fünftel der Jochbreite. Für ein Feld mit Seitenverhältnis 1:2 (wo also die Diagonale nach Pythagoras die Hälfte der Wurzel aus 5, multipliziert mit der Breite ist, also ca. das 1,2-fache) ist die Länge etwa ein Zehntel der Jochbreite.

Eine Alternative, die ich nicht skizziert habe, wäre, dass man den Gurtbogen um die fehlende Höhe anhebt – also unten mit einem kurzen geraden, senkrechten Stück beginnen lässt und erst dann in den Bogen übergeht. Das wäre vielleicht noch unauffälliger, als das gerade Stück oben anzusetzen. Und zuletzt könnte man beide Ideen kombinieren: Unten mit einer kurzen Senkrechte beginnen und oben mit einem geraden Stück den Scheitel erreichen – das würde dann zumindest mir überhaupt nicht mehr auffallen.

Soviel meine mehr oder weniger graue Theorie!

Der Rest dieses Postings zeigt noch einige Bilder dieser imposanten Kathedrale und, am Ende, einen Link zu einem Video der Orgel: